问题
解答题
已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对称”．设函数f(x)=
（1）试证明y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称； （2）当x∈[a-2，a-1]时，求证：f(x)∈[-
（3）对于给定的x1∈A，设计构造过程：x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn+1=f（xn）．如果xi∈A（i=2，3，4…），构造过程将继续下去；如果xi∉A，构造过程将停止．若对任意x1∈A，构造过程都可以无限进行下去，求a的值． |
答案
（1）∵f(x)=-1+
，∴f(a+x)+f(a-x)=(-1+1 a-x
)+(-1+1 -x
)=-2．1 x
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，只要证明f（x）在（-∞，a）上是增函数．
设-∞＜x1＜x2＜a，则f(x1)-f(x2)=
-1 a-x1
=1 a-x2
＜0，x1-x2 (a-x1)(a-x2)
∴f（x）在（-∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，得
当x∈[a-2，a-1]时，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[-
， 0]．（7分）1 2
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f(x)=
≠a对任意x∈A恒成立．x+1-a a-x
∴方程
=a无解，即方程（a+1）x=a2+a-1无解或有唯一解x=a．x+1-a a-x
∴
或a+1=0 a2+a-1≠0
由此得到a=-1（13分）a+1≠0
=aa2+a-1 a+1