问题
解答题
已知圆心为C的圆经过点A（-3，0）和点B（1，0）两点，且圆心C在直线y=x+1上．
（1）求圆C的标准方程．
（2）已知线段MN的端点M的坐标（3，4），另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程；
（3）是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦PQ，且以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由．
答案
（1）设圆C的标准方程为：（x-a）2+（y-b）2=r2，
由题意列方程组，
，解得，a=-1，b=0，r=2(-3-a)2+b2=r2 (1-a)2+b2=r2 b=a+1
∴所求圆的方程为：（x+1）2+y2=4
（2）设N（x1，y1），G（x，y），
∵线段MN的中点是G，
∴由中点公式得
⇔
=xx1+3 2
=yy1+4 2 x1=2x-3 y1=2y-4
∵N在圆C上，∴（2x-2）2+（2y-4）2=4，
即（x-1）2+（y-2）2=1，
∴点G的轨迹方程是（x-1）2+（y-2）2=1．
（3）设存在这样的直线l，并设直线方程为：y=x+b
由
⇒2x2+(2b+2)x+b2-3=0⇒x1x2=(x+1)2+y2=4 y=x+b
①b2-3 2
且△=4(b+1)2-8(b2-3)＞0⇒1-
＜b＜1+2 2
同理可得：y1y2=
②；(b-1)2-4 2
∵以PQ为直径的圆过原点O，
∴OP⊥OQ，即x1x2+y1y2=0，把①②代入化简得，b2-b-3=0
解得，b=
；1± 13 2
∴经检验存在两条这样的直线l：y=x+1± 13 2