已知圆C方程为：x2+y2=4．（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B

问题解答题

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量

，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

答案

解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，

则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为(1，

)和(1，-

)，

其距离为2

满足题意（1分）

②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0

设圆心到此直线的距离为d，则2

4-d2

，得d=1（3分）

∴1=

|-k+2|

k2+1

，k=

，

故所求直线方程为3x-4y+5=0

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1（7分）

（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y）

则N点坐标是（0，y₀）（9分）

∵

，

∴（x，y）=（x₀，2y₀）即x₀=x，y0=

（11分）

又∵x₀²+y₀²=4，∴x2+

=4(y≠0)

∴Q点的轨迹方程是

=1(y≠0)，（13分）

轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）