问题
解答题
| 给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）∈D，称函数y=f（x）在D上封闭． （1）若定义域D1=（0，1），判断函数g（x）=2x-1是否在D1上封闭，并说明理由； （2）若定义域D2=（1，5]，是否存在实数a，使得函数f(x)=
（3）利用（2）中函数，构造一个数列{xn}，方法如下：对于给定的定义域D2=（1，5]中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…在上述构造数列的过程中，如果xi（i=1，2，3，4…）在定义域中，构造数列的过程将继续下去；如果xi不在定义域中，则构造数列的过程停止． ①如果可以用上述方法构造出一个无穷常数列{xn}，求实数a的取值范围． ②如果取定义域中任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列{xn}，求实数a的取值范围． |
答案
（1）对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值g（x0）∈（-1，1）∉D1，
故函数g（x）=2x-1在D1上不封闭；
（2）若存在，则f(x)=
=5-5x-a x+2
，10+a x+2
∵定义域D2=（1，5]，∴(
，5-a 3
]∈（1，5]，25-a 7
∴-10≤a≤-2
（3）①根据题意，只需当x≠-2时，方程f（x）=x有解，方程x2-3x+a=0有不等于2的解．
将x=-2代入方程，得a=-10，由此可得a的取值范围是（-∞，-10）∪（-10，+∞）．
②根据题意，f(x)=
=a在R中无解，5x-a x+2
亦即当x≠-2时，方程（5-a）x=3a无实数解．
∴a=5即为所求a的值．