（1）∵f（x）=

2x

4x+1

，∴x∈R，

∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

1+4x

=f（x），

∴函数f（x）=

2x

4x+1

是偶函数．

（2）在[0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂．

f（x₁）-f（x₂）=

2x1

4x1+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1•4x2+2x1-2x2•4x1-2x2

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，

∵0≤x₁＜x₂．

∴

(2x1+2x2-22x1+x2)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，

∴f（x）在[0，+∞）上是减函数．

（3）∵f（x）在[0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数，

∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，

∴f（x）_max=f（0）=

1

2

．