问题
解答题
附加题：
连续函数f（x）满足：对于任何x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）⋅f（y）成立，且f（x）不是常数函数．
（Ⅰ）求证：对于任意x∈R，都有f（x）＞0；
（Ⅱ）求证：对于任意x∈Q，都有f（x）=[f（1）]x；
（Ⅲ）设f（1）=a，求证：对于任意x∈R，都有f（x）=ax．
答案
证明：（I）假设设f（x）＜0，
∵x、y∈R，则f（x+y）＜0
f（x）．f（y）＞0，
与f（x+y）=f（x）．f（y）矛盾，
∴f（x）＞0
（II）对任意x，f（0）=f[x+（-x）]=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=
=[f（x）]-11 f(x)
可以推出：f（m）=f（1+1+…+1）=[f（1）]m，m为正整数．
f（1）=f（
+1 n
+…+1 n
）=[f（1 n
）]n，f（1 n
）=[f(1)]1 n
，n为正整数．1 n
设x=
，m、n为整数．m n
f（x）=f（
）=[f(1)]m n
=[f（x）]xm n
（III）设x为任意实数，则存在一系列有理数（可能是无穷多个）x1、x2、x3、…
使得x=x1+x2+x3+…
∵f（x+y）=f（x）⋅f（y）
所以，f（x）=f（x1+x2+x3+…）=ax1•a^x2•ax3•…=a（x1+x2+x3+…）=ax