问题 选择题
设函数f(x)的定义域为D.如果∀x∈D,∃y∈D,使
f(x)+f(y)
2
=C
(C为常数)成立,则称函数f(x)在D上的均值为C,给出下列四个函数
①y=x3
y=(
1
2
)x

③y=lnx;
④y=2sinx+1,
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
答案

①对于函数y=x3,定义域为R,设x∈R,由

x3+y3
2
=1,得y3=2-x3,所以y=
32-x3
∈R,所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数;

②对于y=(

1
2
)x,定义域为R,设x∈R,由
(
1
2
)x+(
1
2
)y
2
=1
,得(
1
2
)y=2-(
1
2
)x
,当x=-2时,2-(
1
2
)-2=-2
,不存在实数y的值,使(
1
2
)y=-2
,所以该函数不是定义域上均值为1的函数;

③对于函数y=lnx,定义域是(0,+∞),设x∈(0,+∞),由

lnx+lny
2
=1,得lny=2-lnx,则

y=e2-lnx∈R,所以该函数是定义域上均值为1的函数;

④对于函数y=2sinx+1,定义域是R,设x∈R,由

2sinx+1+2siny+1
2
=1,得siny=-sinx,因为-sinx∈[-1,1],

所以存在实数y,使得siny=-sinx,所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数.

所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3.

故选C.

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