问题
选择题
设函数f(x)的定义域为D.如果∀x∈D,∃y∈D,使
①y=x3; ②y=(
③y=lnx; ④y=2sinx+1, 则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是( )
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答案
①对于函数y=x3,定义域为R,设x∈R,由
=1,得y3=2-x3,所以y=x3+y3 2
∈R,所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数;3 2-x3
②对于y=(
)x,定义域为R,设x∈R,由1 2
=1,得((
)x+(1 2
)y1 2 2
)y=2-(1 2
)x,当x=-2时,2-(1 2
)-2=-2,不存在实数y的值,使(1 2
)y=-2,所以该函数不是定义域上均值为1的函数;1 2
③对于函数y=lnx,定义域是(0,+∞),设x∈(0,+∞),由
=1,得lny=2-lnx,则lnx+lny 2
y=e2-lnx∈R,所以该函数是定义域上均值为1的函数;
④对于函数y=2sinx+1,定义域是R,设x∈R,由
=1,得siny=-sinx,因为-sinx∈[-1,1],2sinx+1+2siny+1 2
所以存在实数y,使得siny=-sinx,所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数.
所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3.
故选C.