问题
解答题
已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，x∈R．
（1）求该函数的单调增区间；
（2）求该函数的最大值及对应的x的值；
（3）求该函数的对称轴方程与对称中心坐标．
答案
y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=
+sin2x+1-cos2x 2 3(1+cos2x) 2
=sin2x+cos2x+2=
sin(2x+2
)+2．（5分）π 4
（1）由-
+2kπ≤2x+π 2
≤π 4
+2kπ，得-π 2
+kπ≤x≤3π 8
+kπ(k∈Z)．π 8
所以函数的单调增区间为[-
+kπ， 3π 8
+kπ](k∈Z).（8分）π 8
（2）令2x+
=π 4
+2kπ，得x=π 2
+kπ(k∈Z)，π 8
所以当x=
+kπ(k∈Z)时，ymax=2+π 8
．（12分）2
（3）由2x+
=π 4
+kπ，得x=π 2
+π 8
(k∈Z)，kπ 2
所以该函数的对称轴方程为x=
+π 8
(k∈Z)．kπ 2
由2x+
=kπ，得x=-π 4
+π 8
(k∈Z)，kπ 2
所以，该函数的对称中心为：(-
+π 8
， 0)(k∈Z)．（16分）kπ 2