已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直

问题解答题

已知M（-3，0）﹑N（3，0），P为坐标平面上的动点，且直线PM与直线PN的斜率之积为常数m（m≥-1，m≠0）．
（1）求P点的轨迹方程并讨论轨迹是什么曲线？
（2）若m=-

，P点的轨迹为曲线C，过点Q（2，0）斜率为k₁的直线ℓ₁与曲线C交于不同的两点A﹑B，AB中点为R，直线OR（O为坐标原点）的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）在（2）的条件下，设

=λ

，且λ∈[2，3]，求ℓ₁在y轴上的截距的变化范围．

答案

（1）设p（x，y）

由

x+3

•

x-3

=m，得y²=m（x²-9），

若m=-1，则方程为x²+y²=9，轨迹为圆（除A B点）；

若-1＜m＜0，方程为

-9m

=1，轨迹为椭圆（除A B点）；

若m＞0，方程为

-9m

=1，轨迹为双曲线（除A B点）．

（2）m=-

时，曲线C方程为

=1，设ℓ₁的方程为：x=ty+2

与曲线C方程联立得：（5t²+9）y²+20ty-25=0，

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

-20t

5t2+9

①，y1y2=

-25

5t2+9

②，

可得R(

5t2+9

，

-10t

5t2+9

)，k1k2=

•(-

)=-

．

（3）由

=λ

得y₂=-λy₁代入①②得：(1-λ)y1=

-20t

5t2+9

③，λ

5t2+9

④，

③式平方除以④式得：

-2+λ=

16t2

5t2+9

，

而

-2+λ在λ∈[2，3]上单调递增，

≤

-2+λ≤

，

≤

5t2+9

16t2

≤2，ℓ₁在y轴上的截距为b，b2=(-

)2=

∈[

，12]，b∈[-2

，-

]∪[

，2

]．