问题
解答题
| 对于函数y=f（x），x∈D，若同时满足以下条件： ①函数f（x）是D上的单调函数； ②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]， 则称函数f（x）是闭函数． （1）判断函数f(x)=2x+
（2）若函数f(x)=
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答案
（1）f′(x)=2-
=4 x2 2(x2-2) x2
令f'（x）=0
解得x=
(x=-2
舍）2
∵x∈[1，
)时f'（x）＜0；2
x∈(
，10]时f'（x）＞02
∴f（x）在[1，
)上是减函数，在(2
，10]上是增函数2
∴函数f（x）不是[1，10]上的单调函数
∴f(x)=2x+
不是闭函数．4 x
②∵g'（x）=-x2≤0∴g（x）=-x3在R上是减函数，
设g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则
，解得b=-a3 a=-b3 a＜b a=-1 b=1
∴存在区间[-1，1]⊆R，
使f（x）在[-1，1]上的值域也是[-1，1]
∴函数g（x）=-x3是闭函数
（2）函数f(x)=
+k在定义域上是增函数x+2
设函数f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
则
，a=k+ a+2 b=k+ b+2
故a，b是方程x=k+
的两个不相等的实根，x+2
命题等价于
有两个不相等的实根，x2-(2k+1)x+k2-2=0 x≥-2 x≥k
当k≤-2时，
，
＞-22k+1 2 (2k+1)2-4(k2-2)＞0 22-(2k+1)k+k2-2≥0
解得k＞-
，∴k∈(-9 4
，-2]．9 4
当k＞-2时，
，无解．
＞k2k+1 2 (2k+1)2-4(k2-2)＞0 k2-(2k+1)k+k2-2≥0
∴k的取值范围是(-
，-2]9 4