因为函数f（x）的定义域为[0，1]，

所以0≤x≤1，若F（x）=f（x+m）+f（x-m）的定义域存在

所以0≤x+m≤1，0≤x-m≤1  ①，

又-1≤-x-m≤0            ②，

①+②得，

-1≤-2m≤1，

所以-

1

2

≤m≤

1

2

，

因为m＞0，所以0＜m≤

1

2

，即当0＜m≤

1

2

时，函数F（x）=f（x+m）+f（x-m）的定义域存在，

所以要使f（x+m）+f（x-m）的定义域是∅，则m＞

1

2

．

故答案为：m＞

1

2

．