因为函数f（x）=log_a（a^x+t）在其定义域内为增函数，则若函数y=f（x）为“希望函数”，

方程f（x）=

1

2

x必有两个不同实数根，

∵log_a（a^x+t）=

1

2

x⇔a^x+t=a

1

2

x⇔a^x-a

1

2

x+t=0，

令m=a

1

2

x

∴方程m²-m+t=0有两个不同的正数根，

∴

△=1-4t＞0 t＞0

∴t∈（0，

1

4

）

故答案为：（0，

1

4

）

法二：依题意，函数g（x）=log_a（a^x+t）（a＞0，a≠1）在定义域上为单调递增函数，且t≥0，

而t=0时，g（x）=x不满足条件②，

∴t＞0．设存在[m，n]，使得g（x）在[m，n]上的值域为[

1

2

m，

1

2

n]，

∴

loga(am+t)= 1 2 m loga(an+t)= 1 2 n

即

a 1 2 m=am+t a 1 2 n=an+t

∴m，n是方程（a^x）²-a^x+t=0的两个不等正实根，

∴△=1-4t＞0，且t＞0

∴0＜t＜

1

4

故答案为：（0，

1

4

）