已知函数f（x）=logax-2x+2（a＞0，且a≠1）．（1）求f（x）的定

问题解答题

已知函数f（x）=log_a

x-2

x+2

（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．

答案

（1）∵

x-2

x+2

＞0，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．

∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}．

（2）∵f（-x）=loga

-x-2

-x+2

=loga

x+2

x-2

=-loga

x-2

x+2

=-f（x）．

及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称．

∴函数f（x）是奇函数．

（3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，log_am及loga

m-2

m+2

由意义，

可知2＜m＜n．

由∵1+log_an＜1+log_am，∴log_an＜log_am，

∴0＜a＜1．

令t=

x-2

x+2

，则t=1-

x+2

在区间[m，n]（m＞2）上单调递增，

∴函数f（x）=loga

x-2

x+2

在区间[m，n]上单调递减．

∴

f(m)=loga

m-2

m+2

=1+logam

f(n)=loga

n-2

n+2

=1+logan

，

∴m，n是方程loga

x-2

x+2

=1+logax的两个大于2的根．方程可化为

x-2

x+2

=ax，即ax²+（2a-1）x+2=0．

上述问题⇔关于x的方程ax²+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．

令g（x）=ax²+（2a-1）x+2，

则有

△=(2a-1)2-8a＞0

g(2)=8a＞0

2a-1

＞2

，解得

a＞

3+2

或a＜

3-2

a＞0

0＜a＜

．

解得0＜a＜

3-2

．

又0＜a＜1，

∴0＜a＜

3-2

．

故存在这样的实数a，且a的取值范围为(0，

3-2

)．