问题
解答题
| 已知集合D={（ x1，x2）|x 1＞0，x 2＞0，x1+x2=k }，其中k为正常数 （1）若k=2，且u=x1⋅x2，求u的取值范围 （2）若k=2，且y=(
（3）设y1=(
|
答案
（1）x1x2≤(
)2=x1+x2 2
，当且仅当 x1=x2=k2 4
时等号成立，k 2
故u的取值范围为 (0，
]．k2 4
当k=2时u的取值范围（0，1]；
（2）由于(
-x1)(1 x1
-x2)=1 x2
+x1x2-1 x1x2
-x1 x2
=x1x2+x2 x1
-1 x1x2
=x1x2-
+x 21 x 22 x1x2
+2=u-k2-1 x1x2
+2k2-1 u
由 0＜u≤
，又k≥1，k2-1≥0，k2 4
∴在 (0，
]上是增函数k2 4
所以 (
-x1)(1 x1
-x2)1 x2
=u-
+2≤k2-1 u
-k2 4
+2=k2-1 k2 4
-2+k2 4
=(4 k2
-2 k
)2k 2
即当k=2，y的取值范围是：（-∞，0）；
（3）由（2）可知 (
-x1)(1 x1
-x2)-(1 x2
-k 2
)2=2 k
，(x1-x2)2(4-k2x1x2-4k2) 4k2x1x2
要不等式恒成立，必须4-k2x1x2-4k2≥0恒成立
即 x1x2≤
恒成立4-4k2 k2
由 0＜x1x2≤
得 k2 4
≤k2 4
，即k4+16k2-16≤0，4-4k2 k2
解得 0＜k2≤4
-8．5
因此当0＜k2≤4
-8时，y1≥y2；当k2＞45
-8时，y1＜y2；5
