问题
解答题
已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1-x）．
（1）求函数f（x）-g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）判断函数f（x）-g（x）在定义域上的单调性，并证明你的结论．
答案
（1）由x+1＞0且1-x＞0，得-1＜x＜1，因此函数定义域为{x|-1＜x＜1}；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），则F（-x）=f（-x）-g（-x）=lg（-x+1）-lg（1+x）=-F（x），
∴F（x）=f（x）-g（x）是奇函数；
（3）函数f（x）-g（x）在定义域上为增函数．
设f（x）-g（x）=lg
，令h（x）=x+1 1-x x+1 1-x
设-1＜x1＜x2＜1，则h（x1）-h（x2）=
-x1+1 1-x1
=x2+1 1-x2 2(x1-x2) (1-x1)(1-x2)
∵-1＜x1＜x2＜1，∴
＜0，∴h（x1）-h（x2）＜0，2(x1-x2) (1-x1)(1-x2)
∴h（x） 在（-1，1）上为增函数，
∴f（x）-g（x）在（-1，1）上为增函数．