过山车是游乐场中常见的设施，如图是一种过山车的简易模型．它由水平轨道和在竖直平面内的若干个光滑圆形轨道组成，A、B、C…分别是各个圆形轨道的最低点，第一圆轨道的半径R1=2.0m，以后各个圆轨道半径均是前一轨道半径的k倍（k=0.8），相邻两最低点间的距离为两点所在圆的半径之和．一个质量m=1.0kg的物块（视为质点），从第一圆轨道的左侧沿轨道向右运动，经过A点时的速度大小为v0=12m/s．已知水平轨道与物块间的动摩擦因数μ=0.5，水平轨道与圆弧轨道平滑连接． g取10m/s2，lg0.45=-0.347，lg0.8=-0.097．试求：
（1）物块经过第一轨道最高点时的速度大小；
（2）物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小；
（3）物块能够通过几个圆轨道？
（1）设经第一个轨道最高点的速度为v，由机械能守恒有
m1 2
=v 20
mv2+2mgR11 2
即有v=
=
-4gR1v 20
=8m/s122-4×10×2
故物块经过第一轨道最高点时的速度大小为8m/s．
（2）设物块经B点时的速度为vB，从A到B的过程由动能定理，
-μmg(R1+R2)=
m1 2
-v 2B
m1 2 v 20
对物块经B点受力分析，由向心力公式有
FN-mg=mv 2B R2
联立两式解得N=mg+m
=10+1×
-2μg(R1+R2)v 20 R2
=77.5N122-2×0.5×10×(2+1.6) 1.6
由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为77.5N．
故物块经过第二轨道最低点B时对轨道的压力大小为77.5N．
（3）设物块恰能通过第n个轨道，它通过第n个轨道的最高点时的速度为vn，有m
≥mgv 2n Rn
对物块从A到第n个轨道的最高点的全过程由动能定理得-μmg[(R1+R2)+(R2+R3)+…(Rn-1+Rn)]-2mgRn=
m1 2
-v 2n
m1 2 v 20
又因为 Rn=kn-1R1=0.8n-1R1
由以上三式可整理得v02-2μg[（R1+R2+…+Rn-1）+（R2+R3+…+Rn）]≥5gRn
即
-2μg[v 20
+R1(1-kn-1) 1-k
]=R2(1-kn-1) 1-k
-2μgR1v 20
≥5gkn-1R1(1+k)(1-kn-1) 1-k
将v0=12m/s，μ=0.5，R1=2m，k=0.8，g=10m/s2代入上式，整理得0.8n-1≥0.45，
即有(n-1)≤
≈3.6，解得 n≤4.6lg0.45 lg0.8
故物块共可以通过4个圆轨道．