问题
解答题
| 在n×n的正方形棋盘上，按以下法则放置棋子：如果某小格子上没有棋子，则在过这格的水平线与竖直线上的棋子总数不小于n． 求证：在棋盘上的棋子数不少于
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答案
证明：考察n行（横）及行（竖）中，一定存在某一行或某一列放置棋子的数目最少，不妨设是第一行放的棋子数量最少，只有k个，…5分
若k≥
，则n行棋子数s≥nk≥n•n 2
=n 2
，…10分n2 2
若k≤
，则第一行放了棋子数为k格所对应的列上的棋子数不少于k，故这k列上的棋子数s1≥k•k=k2，而第一行未放棋子的（n-k）列上的棋子数s2≥（n-k）2，…15分n 2
故s=s1+s2=k2+（n-k）2，
而k2+（n-k）2-
=2（k-n2 2
）2≥0，n 2
故s≥
．…25分n2 2