问题 解答题

已知圆C:(x-1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B

(1)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;

(2)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.

(3)设圆C与x轴交于M、N两点,有一动点Q使∠MQN=45°.试求动点Q的轨迹方程.

答案

解(1)已知圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),因直线过点P与PC垂直,所以直线l的斜率为-

1
2

直线l的方程为y-2=-

1
2
(x-2),即  x+2y-6=0.

(2)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y-2=x-2,即 x-y=0

圆心C到直线l的距离为

1
2
,圆的半径为3,弦AB的长为
34

(3)∵圆C与x轴交于M(-2,0),N(4.0)两点∴tan45°=|

kMQ-kNQ
1+kMQ×.kNQ
|.

1=|

y
x+2
_
y
x-4
1+
y
x+2
×
y
x-4
|

1=|

-6y
x2-2x-8+y2
|

x2-2x-8+y2=6y或x2-2x-8=-6y∴Q点的轨迹方程是:(x-1)2+(y-3)2=18(y>0),或(x-1)2+(y+3)2=18(y<0)

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