问题
解答题
| 集合C={f（x）|f（x）是在其定义域上的单调增函数或单调减函数}，集合D={f（x）|f（x）在定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在a，b上的值域是[ka，kb]，k为常数}． （1）当k=
（2）当k=
（3）当k=1时，是否存在实数m，当a+b≤2时，使函数f（x）=x2-2x+m∈D，若存在，求出m的范围，若不存在，说明理由． |
答案
（1）y=
的定义域是[0，+∞），x
∵y=
在[0，+∞）上是单调增函数，x
设y=
在[a，b]的值域是[x
，a
]，b
由
，解得
=a
a1 2
=b
b1 2
，a=0 b=4
故函数y=
属于集合C∩D，且这个区间是[0，4]．x
（2）设g（x）=
+t，则g（x）是定义域[0，+∞）上的增函数，x
∵g（x）∈C∩D，∴存在区间[a，b]⊂[0，+∞），满足g（a）=
a，g（b）=1 2
b，1 2
∴方程g（x）=
x在[0，+∞）内有两个不等实根，1 2
方程
+t=x
x在[0，+∞）内有两个不等实根，1 2
令
=m，则其化为m+t=x
m2，1 2
即m2-2m-2t=0有两个非负的不等实根，
∴
，解得-△=4+8t＞0 x1+x2=2＞0 x1x2=-2t≥0
＜t≤0．1 2
（3）f（x）=x2-2x+m∈D，且k=1，
∴当a＜b≤1时，f（x）在[a，b]上单调递减，
，b=m-2a+a2 a=m-2b+b2
两式相减，得a+b=1，
∴
，1-a=m-2a+a2 1-b=m-2b+b2
，0=m-1-a+a2 0=m-1-b+b2
∴方程0=m-1-x+x2在x≤1上有两个不同的解，
解得m∈[1，
）．5 4