问题
解答题
已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).
(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
答案
(1)由已知得f′(x)=
-a.ex ex+1
∵函数y=f(x)的导函数是奇函数.
∴f′(-x)=-f′(x),解得a=
.故f′(x)=1 2
-ex+1-1 ex+1
,f′(x)=1 2
-1 2
,所以f′(x)∈(-1 ex+1
,1 2
)1 2
(2)由(1)f′(x)=
-a=1-ex ex+1
-a.1 ex+1
当a≥1时,f′(x)<0恒成立,
∴当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,由f′(x)>0得(1-a)(ex+1)>1,即ex>-1+
,x>ln1 1-a
,a 1-a
∴当0<a<1时,y=f(x)在(ln
,+∞)内单调递增,a 1-a
在(-∞,ln
)内单调递减.a 1-a
故当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;
当0<a<1时,y=f(x)在(ln
,+∞)内单调递增;在(-∞,lna 1-a
)内单调递减.a 1-a