问题 解答题

已知函数f(x)=ln(ex+1)-ax(a>0).

(1)若函数y=f(x)的导函数是奇函数,求y=f′(x)的值域;

(2)求函数y=f(x)的单调区间.

答案

(1)由已知得f′(x)=

ex
ex+1
-a.

∵函数y=f(x)的导函数是奇函数.

∴f′(-x)=-f′(x),解得a=

1
2
.故f′(x)=
ex+1-1
ex+1
-
1
2
f′(x)=
1
2
-
1
ex+1
,所以f′(x)∈(-
1
2
1
2
)

(2)由(1)f′(x)=

ex
ex+1
-a=1-
1
ex+1
-a.

当a≥1时,f′(x)<0恒成立,

∴当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;

当0<a<1时,由f′(x)>0得(1-a)(ex+1)>1,即ex>-1+

1
1-a
,x>ln
a
1-a

∴当0<a<1时,y=f(x)在(ln

a
1-a
,+∞)内单调递增,

(-∞,ln

a
1-a
)内单调递减.

故当a≥1时,函数y=f(x)在R上单调递减;

当0<a<1时,y=f(x)在(ln

a
1-a
,+∞)内单调递增;在(-∞,ln
a
1-a
)
内单调递减.

单项选择题
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