问题
解答题
已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
答案
（1）由已知得f′(x)=
-a．ex ex+1
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得a=
．故f′(x)=1 2
-ex+1-1 ex+1
，f′(x)=1 2
-1 2
，所以f′(x)∈(-1 ex+1
，1 2
)1 2
（2）由（1）f′(x)=
-a=1-ex ex+1
-a．1 ex+1
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（ex+1）＞1，即ex＞-1+
，x＞ln1 1-a
，a 1-a
∴当0＜a＜1时，y=f(x)在(ln
，+∞)内单调递增，a 1-a
在(-∞，ln
)内单调递减．a 1-a
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，y=f(x)在(ln
，+∞)内单调递增；在(-∞，lna 1-a
)内单调递减．a 1-a