问题
解答题
已知定义在（1，+∞）上的函数f（x）=
（Ⅰ）若f（2t-3）＞f（4-t），求实数t的取值范围； （Ⅱ）若f（x）≤4x对（1，+∞）上的任意x都成立，求实数a的取值范围； （Ⅲ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求实数a的取值范围． |
答案
（1）由于定义在（1，+∞）上的函数f（x）=
-1 a
（a＞0）满足f（2t-3）＞f（4-t），1 x-1
则
解得t∈(2t-3＞4-t 2t-3＞1 4-t＞1
，3)7 3
（2）由f（x）≤4x得
≤4x+1 a
，1 x-1
∴
≤4(x-1)+1 a
+4∵4(x-1)+1 x-1
≥4(x=1 x-1
时取等号)3 2
∴
≤8∵a＞0∴a≥1 a 1 8
（3）由于f（x）在（1，+∞）单调递增，∴
-1 a
=m1 m-1
-1 a
=n1 n-1
∴m，n为方程
-1 a
=x的两个大于1的不等实根1 x-1
令x-1=u（u＞0）
由y=
-1与y=u+1 a
(u＞0)的图象可得1 u
-1＞2∴0＜a＜1 a 1 3
