问题
解答题
已知函数f（x）=log0.5（sin2x）
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．
答案
∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，即kπ＜x＜kπ+
，k∈Z，π 2
∴f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+
，k∈Z}．π 2
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+
，k∈Z，∴kπ＜x≤kπ+π 2
，k∈Z，π 4
故f（x）的单调递减区间为(kπ，kπ+
]，k∈Z；π 4
∵f（x）的单调递增区间满足2kπ+
≤2x＜2kπ+π，k∈Z，π 2
∴kπ+
≤x＜kπ+π 4
，k∈Z．π 2
故f（x）的单调递增区间为[kπ+
，kπ+π 4
)，k∈Z．π 2
（2）因f(
)=0，而f(-π 4
)没有意义π 4
故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．