问题
解答题
| 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈（-∞，-2）∪（0，+∞）时，f（x）＞0，当x∈（-2，0）时，f（x）＜0，且对任意x∈R，不等式f（x）≥（a-1）x-1恒成立． （I）求函数f（x）的解析式； （II）设函数F（x）=tf（x）-x-3，其中t≥0，求F（x）在x∈[-
（III）在（II）的条件下，若关于的函数y=log2[p-H（t）]的图象与直线y=0无公共点，求实数的取值范围． |
答案
（I）由已知得a＞0，且-2和0为方程ax2+bx+c=0的两根，∴可设f（x）=ax（x+2），又由f（x）≥（a-1）x-1恒成立得（a-1）2≤0，∴a=1，∴f（x）=x2+2x
（II）F（x）=tf（x）-x-3=tx2+（2t-1）x-3（t≥0），以下分情况讨论F（x）在x∈[-
，2]时的最大值H（t）3 2
（1）当t=0时，F（x）=-x-3在x∈[-
，2]时单调递减，F(x)max=H(t)=-3 2
；3 2
（2）当t＞0时，F（x）图象的对称轴方程为x0=-1+
．∵1 2t
=-
+23 2 2
，∴只需比较x0与1 4
的大小1 4
①当x0≤
，即t≥1 4
时，F（x）max=8t-5；2 5
②当x0＞
，即0＜t＜1 4
时，F(x)max=-2 5
t-3 4
，3 2
综上可得H(t)=-
t-3 4
，0≤t＜3 2 2 5 8t-5，t≥ 2 5
（III）由题意，只需要[p-H（t）]＞0，且p-H（t）=1无解，即[p-H（t）]max＞0，且1不在[p-H（t）]值域内
由（II）可知H（t）的最小值为-
，即-H（t）的最大值为9 5
，∴9 5
，∴-p+
＞09 5 1＞p+ 9 5
＜p＜-9 5 4 5