（1）∵f（

3

2

）=[

3

2

[

3

2

]]=[

3

2

•1]=[

3

2

]=1，

f（-

3

2

）=[-

3

2

[-

3

2

]]=[-

3

2

•（-2）]=[3]=3，

∴f（-

3

2

）≠f（

3

2

），f（-

3

2

）≠-f（

3

2

），故f（x）为非奇非偶函数．（4分）

（2）当-2≤x＜-1时，[x]=-2，则2＜x[x]≤4，∴f（x）可取2，3，4；

当-1≤x＜0时，[x]=-1，则0＜x[x]≤1，∴f（x）可取0，1；

当0≤x＜1时，[x]=0，则x[x]=0，∴f（x）=0；

当1≤x＜2时，[x]=1，则1≤x[x]＜2，∴f（x）=1；

当2≤x＜3时，[x]=2，则4≤x[x]＜6，∴f（x）可取4，5；

又f（3）=[3[3]]=9，

故所求f（x）的值域为{0，1，2，3，4，5，9}，（9分）

（3）当n＜x＜n+1时，[x]=n，则 n²＜x[x]＜n（n+1），

故f（x）可取n²，n²+1，n²+2，…，n²+n-1，

当x=n+1时，f（n+1）=（n+1）²，

又当x∈[0，n]时，显然有f（x）≤n²．

因此，可得a_n+1=a_n+n，又由（2）知，a₁=2，

∴a_n=（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）+a₁

=（2-1）+（3-1）+（4-1）+1…+（n-1）+2

=

(n-1)(1+n-1)

2

+2=

n2-n+4

2

（14分）