问题
解答题
△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，抛物线y=x2-2ax+b2交x轴于两点M，N，交y轴于点P，其中M的坐标是（a+c，0）。
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若S△MNP=3S△NOP，
①求sinB的值；
②若D为抛物线的顶点，判断△ABC的三边长能否取一组适当的值，使△MND是等腰直角三角形？如能，请求出这组值；如不能，请说明理由。
答案
解：（1）证明：∵抛物线y=x2-2ax+b2经过点M（a+c，0），
∴
，
∴
，
∴
，由勾股定理的逆定理得：△ABC为直角三角形且∠A=90°；
（2）解：①如图所示；
∵
，
∴MN=3ON即MO=4ON，
又
，∴
，
∴a+c，
是方程
的两根，
∴
，
∴
，
由（1）知：在△ABC中，∠A=90°，
由勾股定理得
，∴sinB=
，
②能
由（1）知
，
∴顶点D
，
过D作DE⊥x轴于点则NE=EMDN=DM，
要使△MND为等腰直角三角形，只须ED=
MN=EM，
∵
，
∴
，
∴
又c>0，∴c=1，
由于c=
a，b=
，∴a=
，b=
，
∴当
时，△MNP为等腰直角三角形。
