已知函数f（x）是函数y=210x+1-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象

问题解答题

已知函数f（x）是函数y=

10x+1

-1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=

4-3x

x-1

的图象关于直线y=x-1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求F（x）的解析式及定义域．
（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直？若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由．

答案

（1）由y=

10x+1

-1（x∈R），得10^x=

1-y

1+y

，

x=lg

1-y

1+y

．

∴f（x）=lg

1-x

1+x

（-1＜x＜1）．

设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，

则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．

由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=

4-3x

x-1

的图象上，

∴x-1=

4-3(1+y)

1+y-1

．

∴y=

x+2

，即g（x）=

x+2

（x≠-2）．

∴F（x）=f（x）+g（x）=lg

1-x

1+x

x+2

，其定义域为{x|-1＜x＜1}．

（2）∵f（x）=lg

1-x

1+x

=lg（-1+

1+x

）（-1＜x＜1）是减函数，

g（x）=

x+2

（-1＜x＜1）也是减函数，

∴F（x）在（-1，1）上是减函数．

故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．