问题
解答题
已知：z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，i为虚数单位，f（x）=cosx•Re(
且f（0）=2，f(
（1）求z2； （2）求函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间； （3）若α-β≠Kπ，K∈z，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值． |
答案
（1）∵z1=2cosx+isinx，z2=a+bi，a、b∈R，∴(
•z2)=（2cosx-isinx）（a+bi）=（2acosx+bsinx）+（2bcosx-asinx）i，. z1
故 Re(
1•z2)=2acosx+bsinx，. z
∴f（x）=cosx•（2acosx+bsinx）=2acos2x+bsinxcosx=a(1+cos2x)+
bsin2x，1 2
∵
，∴f(0)=2a=2 f(
)=π 3
a+1 2
b=3 4
+1 2 3 2
，∴z2=1+2i．a=1 b=2
（2）由以上可得 f(x)=1+cos2x+sin2x=
sin(2x+2
)+1，π 4
由2kπ-
≤2x+π 2
≤2kπ+π 4
，k∈z，可得 π 2
kπ-
≤x≤kπ+3π 8
，k∈z．π 8
再由x∈（-π，π）可得 -π＜x≤-
、或-7π 8
≤x≤3π 8
、或π 8
≤x＜π，5π 8
∴函数f（x）在（-π，π）上的单调递增区间为：（-π，-
]、[-7π 8
，3π 8
]、[π 8
，π）．5π 8
（3）由f（α）=f（β）可得 sin(2α+
)=sin(2β+π 4
)，π 4
故2α+
=2kπ+2β+π 4
或2α+π 4
=2kπ+π-(2β+π 4
)，k∈Z，π 4
可得 α-β=kπ或α+β=kπ+
，k∈Z，π 4
∵已知 α-β≠Kπ，得到 α+β=kπ+
，k∈Z，π 4
故有 tan(α+β)=tan(kπ+
)=1．π 4