设椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点为F1（-2，0），左准线l1

问题解答题

设椭圆

=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁（-2，0），左准线l₁与x轴交于点N（-3，0），过点N且倾斜角为30°的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）求直线l和椭圆的方程；
（2）求证：点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上；
（3）在直线l上有两个不重合的动点C、D，以CD为直径且过点F₁的所有圆中，求面积最小的圆的半径长．

答案

（1）直线l：y=

（x+3），

由已知c=2及

=3，解得a²=6，

∴b²=6-2²=2．

x²+3y²-6=0，①

∴椭圆方程为

=1．

（2） y=

（x+3），②

将②代入①，整理得2x²+6x+3=0．③

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），

则x₁+x₂=-3，x₁x₂=

．

∵

F1A

•

F1B

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂

=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+

[x₁x₂+3（x₁+x₂）+9]=

x₁x₂+3（x₁+x₂）+7=0，

∴F₁A⊥F₁B．则∠AF₁B=90°．

∴点F₁（-2，0）在以线段AB为直径的圆上．

（3）面积最小的圆的半径长应是点F₁到直线l的距离，设为r．

∴r=

×(-2)-0+

(

)2+1

为所求．