问题
解答题
已知函数f（x）=asinx+acosx+1-a，a∈R，x∈[0，
（I）求f（x）的对称轴方程； （II）若f（x）的最大值为
（III）若定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，且g（2）=0，求当g[f（x）]＜0恒成立时，实数a的取值范围． |
答案
（Ⅰ）f(x)=
asin(x+2
) +1-a，π 4
当a≠0时x+
=kπ+π 4
(k∈Z)，又x∈[0，π 2
]∴x=π 2
；π 4
当a=0时，f（x）=1，又x∈[0，
]∴x=π 2
．π 4
（Ⅱ）x∈[0，
]∴x+π 2
∈ [π 4
，π 4
]，∴sin(x+3π 4
) ∈[π 4
，1]，2 2
1）当a＞0时f(x)max=
a+1-a=2
∴a=1，x=2，
；π 4
2）当a＜0f(x)max=
a•2
+1-a=2 2
，则1=2
，此情况不成立；2
3）当a=0时f（x）max=1，此情况不成立∴a=1，x=
．π 4
（Ⅲ）由题意知f（x）＜-2 或0＜f（x）＜2，
1）当a＞0时，f(x)max=
a+1-a＜2，⇒0＜a＜1+2
，f（x）min=1＞0或f（x）min＜-2（舍）；2
2）当a＜0时，f（x）max=1＜2，f(x)min=
a+1-a＞0（舍）；2
3）当a=0时f（x）=1，满足
∴实a的取值范围-
-1＜a＜1+ 2
．2