已知关于x的方程（n-1）x2+mx+1=0①有两个相等的实数根．（1）求

问题解答题

已知关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0 ①有两个相等的实数根．
（1）求证：关于y的方程m²y²-2my-m²-2n²+3=0 ②必有两个不相等的实数根；
（2）如果方程①的一个根是-

，求方程②的根．

答案

（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，

∴△₁=0，

即n-1≠0，m²-4（n-1）=0，

m²=4（n-1）．

因为m²≥0，n≠1．

∴m²=4（n-1）＞0，n＞1．

方程②中，△₂=（-2m）²-4m²（-m²-2n²+3）=4m²（1+m²+2n²-3）=4m²（m²+2n²-2）．

将m²=4n-4代入，得△₂=4m²（2n²+4n-6）=8m²（n+3）（n-1）．

∵m²＞0，n＞1．

∴△₂＞0，

∴方程②有两个不相等的实数根．

（2）∵方程①有两个相等的实数根，

∴两根都是-

，

则-

n-1

=-1，

n-1

，

解得n=5，m=4．

代入方程②得16y²-8y-16-50+3=0．

解得y₁=-

，y₂=

．