问题 解答题
已知函数f(x)=
3
a
sinxcosx-a(cosx)2+b(a>0)
(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间;
(2)设x∈[0,
π
2
],f(x)的最小值是-1,最大值是2,求实数a的值.
答案

f(x)=

3
2
asin2x-
a
2
(1+cos2x)+b=a(
3
2
sin2x-
1
2
cos2x)+b-
a
2
=asin(2x-
π
6
)+b-
a
2

(1)∵ω=2,∴T=

2
=π,

令2kπ-

π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈Z,解得:kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,k∈Z,

则函数的最小正周期为π,单调递增区间为[kπ-

π
6
,kπ+
π
3
],k∈Z;

(2)∵0≤x≤

π
2
,∴-
π
6
≤2x-
π
6
6

∴-

1
2
≤sin(2x-
π
6
)≤1,

∴f(x)min=-

1
2
a+b-
a
2
=b-a=-1,f(x)max=a+b-
a
2
=b+
a
2
=2,

解得:a=2,b=1.

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