∵函数f（x）=x（x-9）²=x³-18x²+81x

∴f′（x）=3x²-36x+81=3（x-9）（x-3），x∈[0，+∞），

∴当x∈[0，3]时f′（x）≥0，则函数在[0，3]上单调递增

当x∈[3，9]时f′（x）0，则函数在[3，9]上单调递减

当x∈（9，+∞）时f′（x）＞0，则函数在（9，+∞）上单调递增

∴当x=3时，函数取极大值108，当x=9时，函数取极小值0．

（1）当a，b∈[0，3]时，f（x）在[0，3]上为增函数，

∴

即在[0，3]上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k

而y=（x-9）²在[0，3]上单调递减，故不存在满足条件的k值；

（2）当a，b∈[3，9]时，f（x）在[3，9]上为减函数，

∴

即a=b，此时实数a，b的值不存在．

（3）当a，b∈（9，+∞）时，f（x）在（9，+∞）上为增函数，

∴

即在（9，+∞）上存在两个不等的实数使得（x-9）²=k

而y=（x-9）²在（9，+∞）上单调递增，故不存在满足条件的k值；

（4）当a∈[0，3），b∈[3，9]时，3∈[a，b]，f（3）=108=kb

∴k=

（5）当a∈（3，9），b∈[9，+∞）时，9∈[a，b]，f（9）=0=ka

根据题意可知k＞0

∴a=0，不可能成立

（6）令f（x）=x（x-9）²=108解得x=3或12

令f（x）=x（x-9）²=0解得x=0或9

①当a∈[0，3），b∈[9，12）时，

9∈[a，b]，f（9）=0=ka，3∈[a，b]，f（3）=108=kb

根据题意可知k＞0

∴a=0，k=

②当a∈[0，3），b∈[12，+∞）时，

9∈[a，b]，f（9）=0=ka，

根据题意可知k＞0

∴a=0，

且f（b）=b（b-9）²=kb

k=（b-9）²≥9

综上所述：k∈[9，+∞）

故最小的k值为9

故选B．