问题
解答题
已知椭圆的一个顶点为（-2，0），焦点在x轴上，且离心率为
（1）求椭圆的标准方程． （2）斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，O为原点，当△AOB的面积最大时，求直线l的方程． |
答案
（1）设椭圆方程为
+x2 a2
=1，由题意得a=2，e=y2 b2
=c a 2 2
∴c=
∴b2=a2-c2=2所以所求椭圆的标准方程为2
+x2 4
=1y2 2
（2）将直线l：y=x+b代入椭圆
+x2 4
=1中有3x2+4bx+2b2-4=0y2 2
由△=（4b）2-4×3（2b2-4）=-8b2+48＞0得-
＜b＜6 6
由韦达定理得x1+x2=-
b，x1•x2=4 3
∴|AB|=2b2-4 3 4 3 6-b2
又点O到直线l的距离d=
∴S△ABC=|b| 2
d|AB|=1 2 2 3 2
=6b2-b4 2 3 2 -(b2-3)2+9
∴当b2=3（满足-
＜b＜6
）时，S△ABC有最大值6
．此时b=±2 3
∴所求的直线方程为y=x±3