问题
解答题
已知动点P与平面上两定点A(-
(Ⅰ)试求动点P的轨迹方程C; (Ⅱ)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点, ①当|MN|=
②线段MN上有一点Q,满足
|
答案
(Ⅰ)设点P(x,y),则根据题意,有
•y x+ 2
=-y x- 2
,整理得1 2
+y2=1.由于x≠±x2 2
,2
所以求得的曲线C的方程为
+y2=1(x≠±x2 2
).2
(Ⅱ)设点M、N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
由
消去y得:(1+2k2)x2+4kx=0.
+y2=1x2 2 y=kx+1.
①解得x1=0,x2=
.-4k 1+2k2
由|MN|=
|x1-x2|=1+k2
|1+k2
|=4k 1+2k2 4 3
,解得:k=±1.2
∴直线l的方程x-y+1=0或x+y-1=0;
②设点Q的坐标为(x,y),
∵
=MQ 1 2
,MN
∴点Q为线段MN的中点,可得x=
=x1+x2 2
,-2k 1+2k2
∴y=kx+1=k•
+1=-2k 1+2k2
,1 1+2k2
消去k,得方程:x2+2y2-2y=0.
因曲线C的方程为
+y2=1(x≠±x2 2
),故直线不过点(±2
,0),即k≠±2 2 2
又∵直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,
∴△=(-4k)2>0,即k≠0,
因此,x≠0,且x≠±
,2 2
综上,所求点Q的轨迹方程为x2+2y2-2y=0(x≠0,且x≠±
).2 2