（1）由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1，

所以函数的定义域为[-1，1]，

又[f（x）]²=2+2

1-x2

∈[2，4]，由f（x）≥0，得f（x）∈[

2

，2]，

所以函数值域为[

2

，2]；

（2）因为F（x）=

a

2

•[f2(x)-2]+f(x)=a

1-x2

+

1+x

+

1-x

，

令t=f（x）=

1+x

+

1-x

，则

1-x2

=

1

2

t2-1，

∴F（x）=m（t）=a（

1

2

t2-1）+t=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]，

由题意知g（a）即为函数m（t）=

1

2

at2+t-a，t∈[

2

，2]的最大值．

注意到直线t=-

1

a

是抛物线m（t）=

1

2

at2+t-a的对称轴．

因为a＜0时，函数y=m（t），t∈[

2

，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

①若t=-

1

a

∈（0，

2

]，即a≤-

2

2

，则g（a）=m（

2

）=

2

；

②若t=-

1

a

∈（

2

，2]，即-

2

2

＜a≤-

1

2

，则g（a）=m（-

1

a

）=-a-

1

2a

；

③若t=-

1

a

∈（2，+∞），即-

1

2

＜a＜0，则g（a）=m（2）=a+2，

综上有g（a）=

a+2，- 1 2 ＜a＜0 -a- 1 2a ，- 2 2 ＜a≤- 1 2 2 ，a≤- 2 2

，

（3）易得gmin(a)=

2

，

由-m2+2tm+

2

≤g（a）对a＜0恒成立，即要使-m2+2tm+

2

≤g_min（a）=

2

恒成立，

⇒m²-2tm≥0，令h（t）=-2mt+m²，对所有的t∈[-1，1]，h（t）≥0成立，

只需

h(-1)=2m+m2≥0 h(1)=-2m+m2≥0

，

解得m的取值范围是m≤-2或m=0，或m≥2．