问题 填空题
对于函数f(x)=
ax2+bx
,存在一个正数b,使得f(x)的定义域和值域相同,则非零实数a的值为______.
答案

若a>0,由于ax2+bx≥0,即x(ax+b)≥0,

∴对于正数b,f(x)的定义域为:D=(-∞,-

b
a
]∪[0,+∞),

但f(x)的值域A⊆[0,+∞),故D≠A,不合要求.

若a<0,对于正数b,f(x)的定义域为 D=[0,-

b
a
].

由于此时 [f(x)]max=f(-

b
2a
)=
b
2
-a

故函数的值域 A=[0,

b
2
-a
].

由题意,有 -

b
a
=
b
2
-a
,由于b>0,所以a=-4.

故答案为:-4

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