问题
解答题
已知函数f（x）满足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）对两边都有意义的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定义域
（2）写出f（x）的单调区间，并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数？
答案
（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=
，b x-c
由f（1-x）=-f（x+1），得
=-b 1-x-c
，解得c=1，b x+1-c
由f（2）=-1，得-1=
，解得b=-1，b 2-1
∴f（x）=
=-1 x-1
，1 1-x
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定义域为{x|x≠1}．
（2）f（x）的单调区间为（-∞，1），（1，+∞）且都为增区间，
证明：当x∈（-∞，1）时，设x1＜x2＜1，
则1-x1＞0，1-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）=
-1 1-x1
=1 1-x2
，x1-x2 (1-x1)(1-x2)
∵1-x1＞0，1-x2＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（-∞，1）上单调递增．同理f（x）在（1，+∞）上单调递增．