设x₁²+ax₁+1=0，x₁²+bx₁+c=0，两式相减，得（a-b）x₁+1-c=0，解得x₁=

c-1

a-b

，

同理，由x₂²+x₂+a=0，x₂²+cx₂+b=0，得x₂=

a-b

c-1

（c≠1），

∵x₂=

1

x1

，

∴

1

x1

是第一个方程的根，

∵x₁与

1

x1

是方程x₁²+ax₁+1=0的两根，

∴x₂是方程x²+ax+1=0和x²+x+a=0的公共根，

因此两式相减有（a-1）（x₂-1）=0，

当a=1时，这两个方程无实根，

故x₂=1，从而x₁=1，

于是a=-2，b+c=-1，

所以a+b+c=-3．