对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的-个“好区间”.给出下列4个函数:
①f(x)=sinx;
②f(x)=|2x-1|;
③f(x)=x3-3x;
④f(x)=lgx+l.
其中存在“好区间”的函数是______. (填入相应函数的序号)
①函数f(x)=sinx在[-
,π 2
]上是单调增函数,若函数在[-π 2
,π 2
]上存在“好区间”[a,b],π 2
则必有sina=a,sinb=b.
即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx-x,g′(x)=cosx-1≤0在[-
,π 2
]上恒成立,π 2
所以函数g(x)在[-
,π 2
]上为减函数,则函数g(x)=sinx-x在[-π 2
,π 2
]上至多有一个零点,π 2
即方程sinx=x在[-
,π 2
]上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[-1,1],所以当x<-π 2
或x>π 2
时,π 2
方程sinx=x无解.
所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;
②对于函数f(x)=|2x-1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,
f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x-1|的一个“好区间”;
③对于函数f(x)=x3-3x,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).
当x∈(-1,1)时,f′(x)0.
所以函数f(x)=x3-3x的增区间是(-∞,-1),(1,+∞),减区间是(-1,1).
取M=[-2,2],此时f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2.
所以函数f(x)=x3-3x在M=[-2,2]上的值域也为[-2,2],则M=[-2,2]为函数的一个“好区间”;
④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”
则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx-x+1有两个零点.
显然x=1是函数的一个零点,
由g′(x)=
-1<0,得x>1 xln10
,函数g(x)在(1 ln10
,+∞)上为减函数;1 ln10
g′(x)=
>0,得x<1 xln10
.函数在(0,1 ln10
)上为增函数.1 ln10
所以g(x)的最大值为g(
)>g(1)=0,1 ln10
则该函数g(x)在(0,
)上还有一个零点.1 ln10
所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”.
故答案为②③④.