问题 填空题

对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的-个“好区间”.给出下列4个函数:

①f(x)=sinx;

②f(x)=|2x-1|;

③f(x)=x3-3x;

④f(x)=lgx+l.

其中存在“好区间”的函数是______.  (填入相应函数的序号)

答案

①函数f(x)=sinx在[-

π
2
π
2
]上是单调增函数,若函数在[-
π
2
π
2
]
上存在“好区间”[a,b],

则必有sina=a,sinb=b.

即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx-x,g(x)=cosx-1≤0在[-

π
2
π
2
]上恒成立,

所以函数g(x)在[-

π
2
π
2
]上为减函数,则函数g(x)=sinx-x在[-
π
2
π
2
]
上至多有一个零点,

即方程sinx=x在[-

π
2
π
2
]上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[-1,1],所以当x<-
π
2
或x>
π
2
时,

方程sinx=x无解.

所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;

②对于函数f(x)=|2x-1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,

f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x-1|的一个“好区间”;

③对于函数f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

当x∈(-1,1)时,f(x)0.

所以函数f(x)=x3-3x的增区间是(-∞,-1),(1,+∞),减区间是(-1,1).

取M=[-2,2],此时f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2.

所以函数f(x)=x3-3x在M=[-2,2]上的值域也为[-2,2],则M=[-2,2]为函数的一个“好区间”;

④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”

则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx-x+1有两个零点.

显然x=1是函数的一个零点,

g(x)=

1
xln10
-1<0,得x>
1
ln10
,函数g(x)在(
1
ln10
,+∞)
上为减函数;

g(x)=

1
xln10
>0,得x<
1
ln10
.函数在(0,
1
ln10
)上为增函数.

所以g(x)的最大值为g(

1
ln10
)>g(1)=0,

则该函数g(x)在(0,

1
ln10
)上还有一个零点.

所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”.

故答案为②③④.

计算题
单项选择题 B1型题