问题 填空题

对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的-个“好区间”.给出下列4个函数:

①f(x)=sinx;

②f(x)=|2x-1|;

③f(x)=x3-3x;

④f(x)=lgx+l.

其中存在“好区间”的函数是______.  (填入相应函数的序号)

答案

①函数f(x)=sinx在[-

π
2
π
2
]上是单调增函数,若函数在[-
π
2
π
2
]
上存在“好区间”[a,b],

则必有sina=a,sinb=b.

即方程sinx=x有两个根,令g(x)=sinx-x,g(x)=cosx-1≤0在[-

π
2
π
2
]上恒成立,

所以函数g(x)在[-

π
2
π
2
]上为减函数,则函数g(x)=sinx-x在[-
π
2
π
2
]
上至多有一个零点,

即方程sinx=x在[-

π
2
π
2
]上不可能有两个解,又因为f(x)的值域为[-1,1],所以当x<-
π
2
或x>
π
2
时,

方程sinx=x无解.

所以函数f(x)=sinx没有“好区间”;

②对于函数f(x)=|2x-1|,该函数在[0,+∞)上是增函数,由幂函数的性质我们易得,M=[0,1]时,

f(x)∈[0,1]=M,所以M=[0,1]为函数f(x)=|2x-1|的一个“好区间”;

③对于函数f(x)=x3-3x,f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1).

当x∈(-1,1)时,f(x)0.

所以函数f(x)=x3-3x的增区间是(-∞,-1),(1,+∞),减区间是(-1,1).

取M=[-2,2],此时f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2.

所以函数f(x)=x3-3x在M=[-2,2]上的值域也为[-2,2],则M=[-2,2]为函数的一个“好区间”;

④函数f(x)=lgx+1在定义域(0,+∞)上为增函数,若有“好区间”

则lga+1=a,lgb+1=b,也就是函数g(x)=lgx-x+1有两个零点.

显然x=1是函数的一个零点,

g(x)=

1
xln10
-1<0,得x>
1
ln10
,函数g(x)在(
1
ln10
,+∞)
上为减函数;

g(x)=

1
xln10
>0,得x<
1
ln10
.函数在(0,
1
ln10
)上为增函数.

所以g(x)的最大值为g(

1
ln10
)>g(1)=0,

则该函数g(x)在(0,

1
ln10
)上还有一个零点.

所以函数f(x)=lgx+1存在“好区间”.

故答案为②③④.

单项选择题
单项选择题

下面短文,回答下 * * 道题。

古人比较重视步行,无论是走路的速度,还是步形、体态都有较为明确的划定和区别。步行须遵制合礼是古代礼法的一个重要内容。古代以右、前为尊。道路之上,男居右行,女居左行;与父辈外出,小辈随后相从,不得逾前;与兄弟朋友外出,须并行,有如雁阵,不得起速领先。否则为越位,越位即越礼,要受到非议。在古人看来,走路的速度、方式须在不同的场合有所区别。《尔雅》说:“堂上谓之行,堂下谓之步,门外谓之趋,中庭谓之走,大路谓之奔。”东汉人解释,两脚进曰“行”,徐行曰“步”,疾行曰“趋”,疾趋曰“走”,“奔”即后人所说的奔跑。如果不遵此行走,无疑既不合礼,又不合理。汉代还明文规定在帝王面前要“疾趋”。对朝廷有特殊贡献的人或皇上特别亲近的人,可以免去此礼,当然那是独沐皇恩、荣耀无比的事了。在官场之中,则有“趋礼”之说。对趋礼的要求也非常严格,如若行走迟缓则要遭到斥责,甚至有降职免官的危险。县令拜谒知府若行步迟缓,知府的守门人便可斥责县令。

在丰富多彩的社会生活中,在不背道逾礼的情况下,古人也十分讲究步行关,以此体现人的性格情趣和风度教养。先秦君子步行鸣佩玉,即喻示着君子言行举止要符合德行的要求,而佩玉之声伴随着步行的节奏,又显示出一种庄重和谐的美。对待步行,儒道两家态度素不相同;儒家容关于善,道家容美无走。因此,庄子曾尖刻地批评了学行于邯郸的寿陵余子和亦步亦趋效仿孔子走路的颜回,借此嘲讽了儒士们拘守礼义、失去故我的荒唐。但同时,寿陵余子和颜回的行为又侧面反映了一种时尚。寿陵余子认为首都邯郸人的步法独特优美,有节有度,有仪有威,是有许多可学之处的。颜回步、趋、驰、奔处处要学孔子,除了他遵守纪律外,起码在他的眼里,这些是非学到手不可的特技,是他人无法企及的极美的东西。汉末至魏晋时代,随着儒学的日益衰落和人们思想的逐渐解放,人们对美的崇尚与追求更为显著,因此节度迟缓不迫、举止舒泰优雅的步行,作为衡量一个人的修养、气质和风度的重要标准,常为品评者称誉。乐府民歌《陌上桑》载秦罗敷在拒绝使君求婚时,就夸说自己的丈夫:“盈盈公府步,冉冉府中趋。”

古人还把与步行有关的词语用来表情达意。如常见的徘徊、彷徨、踟躇、容与等,就被演化为举步不定、犹豫不决的意思。“徒跣”一词,原意是脱掉鞋子赤脚走路,后演化为表示发怒、着急、匆忙和痛苦的情感。徒跣又如倒屣,碰到身份特殊的人或情状特殊的事,需急遽迎接或前往以示重视时常用此词。刘邦赦免了萧何,萧何“徒跣入谢”,即是表示急速前往致谢的意思。

步行这个简单的行为所蕴含的文化内涵丰富多彩,我们从中可以看到某些历史文化现象,这对我们是不无裨益的。

不能说明第一段中提到的“步行须遵制合礼”的一项是()。

A.在道路上行走,须受男女、长幼、尊卑的严格限制

B.走路的速度、方式在不同的场合有明显的划定和区别

C.汉代规定除个别功臣或宠臣外,臣子在皇帝面前须疾趋

D.官场中,下级在上级面前办事须依礼,不得怠慢放肆