问题
解答题
21．设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
（1）求证：当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M； （2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值； （3）求证：对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1． |
答案
（1）函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+
)，1 m-1
令t=x2-4mx+4m2+m+1 m-1
若m＞1，则
＞0，∴t＞0．1 m-1
若t＞0，则△=（4m）2-4（4m2+m+
）=-1 m-1
＜0，4(m2-m+1) m-1
∵m2-m+1=（m-
）2+1 2
＞0，3 4
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=x2-4mx+4m2+m+1 m-1
=（x-2m）2+m+
≥m+1 m-1
，（x=2m时取等号）．1 m-1
又函数y=log3t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log3（m+
）．1 m-1
（3）∵m+
=m-1+1 m-1
+1，1 m-1
又m＞1，∴m-1+
+1≥3，当且仅当m-1=1 m-1
，即m=2时取等号．1 m-1
又函数y=log3t在定义域上是增函数，
所以log3（m+
）≥1，1 m-1
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．