令y=f（x）=1+cos2x，

∵f（-x）=1+cos（-2x）=1+cos2x=f（x），

∴y=f（x）=1+cos2x为偶函数，

∴其图象关于y轴对称，可排除A，B，

∵y=cosx的对称轴方程为：x=kπ，

∴f（x）=1+cos2x的对称轴方程由2x=kπ，（k∈Z）得：x=

kπ

2

，（k∈Z）

显然，k=1时，其对称轴方程为x=

π

2

，故C满足；

又f（

π

4

）=1+cos（2×

π

4

）=1+0=1，

而f（x）_min=0，f（x）_max=2，f（

π

4

）既不是最大，也不是最小，

故D不满足题意，

故选C．