（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，

取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），

∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，

∴f（x）为奇函数．

（2）证明：任取x₁，x₂∈（-∞，+∞）且x₁＜x₂，

则x₂-x₁＞0，f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，

∴f（x₂）＜-f（-x₁），

又f（x）为奇函数，∴f（x₁）＞f（x₂）．

故f（x）为R上的减函数；

（3）∵f（x）为R上的减函数，

∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），

f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，

故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．

故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．

（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax²）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），

可得f（ax²-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，

所以ax²-2x＞x-2即ax²-3x+2＞0恒成立，

①当a=0时不成立，

②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即

故a的取值范围为（