问题
解答题
已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0又f（1）=-2．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）是R上的减函数；
（3）求f（x）在区间[-3，3]上的值域；
（4）若∀x∈R，不等式f（ax2）-2f（x）＜f（x）+4恒成立，求a的取值范围．
答案
（1）取x=y=0，则f（0+0）=2f（0），∴f（0）=0，
取y=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x）对任意x∈R恒成立，
∴f（x）为奇函数．
（2）证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2，
则x2-x1＞0，f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，
∴f（x2）＜-f（-x1），
又f（x）为奇函数，∴f（x1）＞f（x2）．
故f（x）为R上的减函数；
（3）∵f（x）为R上的减函数，
∴对任意x∈[-3，3]，恒有f（3）≤f（x）≤f（-3），
f（3）=3f（1）=-2×3=-6，∴f（-3）=-f（3）=-6，
故f（x）在[-3，3]上最大值为6，最小值为-6．
故f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-6，6]．
（3）f（x）为奇函数，整理原式得f（ax2）+2f（-x）＜f（x）+f（-2），
可得f（ax2-2x）＜f（x-2），而f（x）在R上是减函数，
所以ax2-2x＞x-2即ax2-3x+2＞0恒成立，
①当a=0时不成立，
②当a≠0时，有a＞0且△＜0，即
，解得a＞a＞0 9-8a＜0
．9 8
故a的取值范围为（
，+∞）．9 8