问题 解答题

已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)求证:f(x)是R上的减函数;

(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;

(4)若∀x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.

答案

(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0,

取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),

∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,

∴f(x)为奇函数.

(2)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2

则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,

∴f(x2)<-f(-x1),

又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).

故f(x)为R上的减函数;

(3)∵f(x)为R上的减函数,

∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),

f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6,

故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6.

故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6].

(3)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2),

可得f(ax2-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数,

所以ax2-2x>x-2即ax2-3x+2>0恒成立,

①当a=0时不成立,

②当a≠0时,有a>0且△<0,即

a>0
9-8a<0
,解得a>
9
8

故a的取值范围为(

9
8
,+∞).

单项选择题

2009年度全国“农民工总量”为22978万人,比上年增加436万人。其中“外出农民工”14533万人,比上年增加492万人在外出农民工中,“住户中外出农民工”11567万人,比上年增加385万人;“举家外出农民工”2966万人,比上年增加107万人。
从输出地看,2009年东部地区农民工10017万人,同比增长3.1%,东部地区农民工占全国农民工总量的比重为43.6%;中部地区农民工7146万人.,同比增长0.9%,中部地区农民工占全国农民工总量的31.1%;西部地区农民工5815万人,同比增长1.2%,西部地区农民工占全国农民工总量的25.3%。
从输入地看,2009年在东部地区务工的外出农民工为9076万人,比上年减888万人,下降8.9%,占全国外出农民工总数的62.5%,比上年降低8.5个百分点;在中部地区务工的外出农民工为2477万人,比上年增加618万人,增长33.2%,占全国外出农民工总数的17%,比上年提高3.8个百分点;在西部地区务丁的外出农民工为2940万人,比上年增加775万人,增长35.8%,占全国外出农民工总数的20.2%,比上年提高4.8个百分点。
从性别看,男性外出农民工占65.1%,女性占34.9%。从年龄看,外出农民工以青壮年为主。其中,16~25岁占41.6%,26~30岁占20%,31~140岁占22.3%,41~50岁占11.9%,50岁以上的农民工占4.2%,从婚姻状况看,已婚的外出农民工占56%,未婚的占41.5%,其他占2.5%。
在外出农民工中,文盲占1.1%,小学文化程度占10.6%,初中文化程度占64.8%,高中文化程度占13.1%,中专及以上文化程度占10.4%。高中及以上文化程度比重比上年提高1.7个百分点,占23.5%。分年龄组看,低年龄组中高学历比例要明显高于高年龄组,30岁以下各年龄组中,接受过高中及以上教育的比例均在26%以上,其中,21~25岁年龄组中接受过高中及以上教育的比例达到31.1%。
2009年,外出农民工月平均收入为1417元,比上年增加77元,增长5.7%。外出农民工月均收入在600元以下的占2.1%;600~800元的占5.2%;800~1200元的占31.5%,1200~1600元的占33.9%;1600~2400元的占19.7%;2400元以上的农民工占7.6%。

从输入地看,2008年在东部地区务工的外出农民工约是在西部地区务工的( )。

A.3.4倍

B.3.8倍

C.4.2倍

D.4.6倍

单项选择题