问题 解答题

已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.

(1)判断f(x)的奇偶性;

(2)求证:f(x)是R上的减函数;

(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;

(4)若∀x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.

答案

(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0,

取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),

∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,

∴f(x)为奇函数.

(2)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2

则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,

∴f(x2)<-f(-x1),

又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).

故f(x)为R上的减函数;

(3)∵f(x)为R上的减函数,

∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),

f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6,

故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6.

故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6].

(3)f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2),

可得f(ax2-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数,

所以ax2-2x>x-2即ax2-3x+2>0恒成立,

①当a=0时不成立,

②当a≠0时,有a>0且△<0,即

a>0
9-8a<0
,解得a>
9
8

故a的取值范围为(

9
8
,+∞).

单项选择题

阅读以下文字。


当下社会语言中产生了许多新词,“美女”算是其中之一,因为它已经不是传统语意上的“美女”了,而是几乎泛指一切女性。“美女”一词的滥用,似乎发端于文学界,所谓“美女作家”。当从文学自身寻找价值比较艰难的时候,从语言学角度去寻找,反而显得容易些了,这也许可以算作中国文学对于语言学的新贡献吧。继女作家统统被称为“美女作家”之后,电视上每出现一位女教授,都会被称为“美女教授”。现在女性到商场去买东西,都会有营业员凑上来问:“美女,买什么 ”
在“美女”中,“美”已经成为虚词,没有任何实际意义了。“美女”对语言学带来了新的挑战,那就是需要重新定义“美”的内涵。如果从前称美女是对女性美的赞赏的话,现在已经完全沦为一种轻薄了。而且,从前的人含蓄,似乎很少在口语中直呼一个人为“美女”,哪怕她真的是一个美女。这不是审美的个体差异问题,也不是情人眼里出西施的特定审美现象,而是“美”字的滥用和美女称谓的泛化。就拿文化界来说,百姓对于知识女性的面孔可能是存在着“阅读定势”的,一看没到丑的地步,“美女”一词就脱口而出了,所以,现在大家需要区分的不是谁是“美女作家”、“美女教授”,而是谁不是“美女作家”、“美女教授”了。当特殊取代一般时,人们所做的就不是从一般中区别特殊,而是从特殊中区别一般了。
一个词汇的运用越是被泛化,意义也就越是被抽空。汉语中有很多词已经被用死掉了,属于一用就滥,一滥就死。在文化界,死掉的词可能还有“大师”和“伟大”。评价一个文化人,一动就是大师;评价一件文化产品,一动就是伟大;一个二流作家可以被称为大师,一部三流小说可以被称为伟大作品。为什么会这样呢 原因很简单,这个时代恰恰无大师,恰恰不伟大,才导致了“大师”与“伟大”词汇的泛滥。真正在大师辈出的伟大时代,“大师”与“伟大”这两个词反而是很少用的,大家在谦虚认真地思考、交流与商榷,而不是随随便便把大师和伟大的帽子一扣拉倒。只有目力不逮的人,才会到处乱扣大师与伟大的帽子。
苏联解体以后,同志不好再称呼了,俄罗斯人不知所措,干脆称呼:男人、女人。于是,有人在喊一个人,却能引起半条街的回头率。男人和女人可以成为一种称谓,似乎是回到了对人的最本质、最普世的称谓层面,但也消解了语言的存在价值,实际上是语言的悲哀。“美女”所显示的,也是语言的滑稽与悲哀,对于用词和称谓的不加节制,有一天也许会导致中国人只能相互称“男人”和“女人”的尴尬境地了。“美女”一词的泛化体现的恰恰是语义的匮乏,以及词语尊严的下滑和人的漫不经心。

对于“美女”一词滥用的现象,作者的态度是()。

A.愤怒

B.幽默

C.悲哀

D.无奈

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