问题
解答题
已知函数f(x)=loga
（1）求函数f（x）的定义域D，并判断f（x）的奇偶性； （2）用定义证明函数f（x）在D上是增函数； （3）如果当x∈（t，a）时，函数f（x）的值域是（-∞，1），求a与t的值． |
答案
（1）要使原函数有意义，则
＞0，解得-1＜x＜1，1-x 1+x
所以函数f（x）的定义域D=（-1，1）．
函数f（x）在定义域内为奇函数．
证明：对任意x∈D，f(-x)=loga
=loga(1+x 1-x
)-1=-loga(1-x 1+x
)=-f(x)1-x 1+x
所以函数f（x）是奇函数．
另证：对任意x∈D，f(-x)+f(x)=loga
+loga(1+x 1-x
)=loga1=01-x 1+x
所以函数f（x）是奇函数．
（2）设x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=loga
-loga1-x1 1+x1
=loga(1-x2 1+x2
•1-x1 1+x1
)=loga1+x2 1-x2
．1-x1x2+(x2-x1) 1-x1x2-(x2-x1)
∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x2，
∴1-x1x2+（x2-x1）-[1-x1x2-（x2-x1）]=2（x2-x1）＞0．
∴1-x1x2+（x2-x1）＞[1-x1x2-（x2-x1）]=（1-x1）（1-x2）＞0．
∴
＞1．1-x1x2+(x2-x1) 1-x1x2-(x2-x1)
∵0＜a＜1，
∴loga
＜01-x1x2+(x2-x1) 1-x1x2-(x2-x1)
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在D上是增函数．
（3）由（2）知，函数f（x）在（-1，1）上是增函数，
又因为x∈（t，a）时，f（x）的值域是（-∞，1），
所以（t，a）⊆（-1，1）且g(x)=
在（t，a）的值域是（a，+∞），1-x 1+x
故g(a)=
=a且t=-1（结合g（x）图象易得t=-1）1-a 1+a
由
=a，得：a2+a=1-a，解得：a=1-a 1+a
-1或a=-2
-1（舍去）．2
所以a=
-1，t=-1．2