对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x

问题解答题

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（

x-t

）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=

，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

答案

（1）当t=

时，f（x）-g（x）=log_t[（x-

）（x-

）]=logt[(x-1)2-

]

令h（x）=logt[(x-1)2-

]

当x∈[

，

]时，h（x）∈[log6，-1]

即|f（x）-g（x）|≥1，

f（x）与g（x）是否在给定区间上是非接近的

（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0

∴0＜t＜1

（3）∵|f（x）-g（x）|=|log_t（x²-4tx+3t²）|

假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，

则有|log_t（x²-4tx+3t²）|≤1∴-1≤log_t（x²-4tx+3t²）≤1

令G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），当∴0＜t＜1时，[t+2，t+3]在x=2t的右侧，

即G（x）=log_t（x²-4tx+3t²），在[t+2，t+3]上为减函数，

∴G（x）_max=log_t（4-4t），

∴G（x）_min=log_t（9-6t）

所以由（*）式可得{0＜t＜1log_t（4-4t）≤1log_t（9-6t）≥-1，解得

0＜t≤

因此，当0＜t≤

时，f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的；当t＞

时，

f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）