问题
多项选择题
设f(x,y)，ψ(x,y)均有连续偏导数，点M0(x0，y0)是函数z=f(x,y)在条件ψ(x,y)=0下的极值点，又ψ’γ(x0，y0)≠0，求证：
(Ⅰ)
(Ⅱ)曲面z=f(x,y)与柱面ψ(x,y)=0的交线厂在点P0(x0,y0,z0)(z0=f(x0,y0))处的切线与xy平面平行；
(Ⅲ)xy平面上的曲线f(x,y)=f(x0，y0)与曲线ψ(x,y)=0在点M0处相切．
答案
参考答案：[分析与证明] (Ⅰ)由题设条件[*]方程ψ(x，y)=0在点M0邻域确定隐函数y=y(x)，且满足y(x0)=y0．
M0点是z=f(x，y)在条件ψ(x，y)=0下的极值点[*]以x=x0为极值点．它的必要条件是
[*]
由ψ[x，y(x)]=0及隐函数求导法得
[*]
代入(*)得
[*]
(Ⅱ)空间曲线[*]在P0(x0，y0，z0)处的切线的方向向量(切向量)为
[*]
[*]f与xy平面平行．
(Ⅲ)曲线f(x，y)=f(x0，y0)与曲线ψ(x，y)=0在公共点M0处的法向量分别是gradf(x，y)|M0=(f’x，f’y，)|M0与gradψ(x，y)|M0=(ψ’x，ψ’y)|M0，由题(Ⅰ)知，gradf(x，y)M0与gradψ(x,y)|M0平行[*]这两条曲线在点M0处相切．