问题
问答题
设
，B是3阶非零矩阵且满足BA=0．
(Ⅰ)求矩阵B；
(Ⅱ)如果矩阵B的第1列是(1，2，-3)T，求(B-E)6．
答案
参考答案：由BA=0有r(A)+r(B)≤3，又A，B均非零矩阵，有r(A)≥1，r(B)≥1．
故 1≤r(A)≤2， 1≤r(B)≤2．
又因A中有2阶子式非0，故必有r(A)=2，从而r(B)=1．于是有
[*]
由BA=0有ATBT=0，那么BT的列向量是齐次方程组ATx=0的解，由
[*]
知ATX=0的通解为k(-1，1，1)T，其中k为任意常数．
那么[*]其中t，u，v是任意不全为0的常数．
所以[*]其中t，u，v是任意不全为0的常数．
[*]
所以a=-3．
(Ⅱ)设α4=(x1，x2，x3，x4)T，则有(α1，α4)=0，(α2，α4)=0，(α3，α4)=0，即
[*]
[*]
所以 α4=k(19，-6，0，1)T，其中k≠0．
(Ⅲ)由于[*]
所以 x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解，即任-4维列向量必可由α1，α2，α3，α4线性表出．
或者由(Ⅰ)知a=3时，α1，α2，α3必线性无关，那么：若
k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用[*]左乘上式两端并利用[*]有[*]又α4≠0，故必有k4=0．于是k1α1+k2α2+k3α3=0．由α1，α2，α3线性无关知必有k1=0，k2=0，k3=0，从而α1，α2，α3，α4必线性无关．而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出．