问题
问答题
设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二次可导，且f(x)在[0，1]上的最大值M=2，最小值m=0，求证：若f(x)的最大值点或最小值点至少有一个是区间(0，1)内的点，则在(0，1)内必存在两点ξ与η，使得|f’(ξ)|＞2，|f"(η)|＞4成立．
答案
参考答案：由题设知，存在x1，x2∈[0，1]，使得f(x1)=M=2，f(x2)=m=0．
由拉格朗日中值定理知，在x1与x2之间存在一点ξ，使得
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因f(x1)-f(x2)=2-0=2，又|x2-x1|＜1，故
[*]
为了确定起见，我们可设f(x)在[0，1]上的最大值M在(0，1)内的点x1处取得，而f(x)在[0，1]上的最小值m在[0，1]上的某点x2≠x1取得．因x1∈(0，1)，又f(x1)=[*]，故
f’(x1)=0．
将f(x2)在x=x1展开成一阶泰勒公式，得
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其中η在x1与x2之间，故η∈(0，1)．将函数值f(x2)=0，f(x1)=2，f’(x1)=0代入上式
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由此可得 [*]
若m=f(x2)且x2∈(0，1)，可类似证明．