问题
问答题
设
，B是3阶非零矩阵且满足BA=0．
(Ⅰ) 求矩阵B；
(Ⅱ) 如果矩阵B的第1列是(1，2，-3)T，求(B-E)6．
答案
参考答案：(Ⅰ) 由BA=0有r(A)+r(B)≤3，又A，B均非零矩阵，有r(A)≥1，r(B)≥1．
故 1≤r(A)≤2， 1≤r(B)≤2．
又因A中有2阶子式非0，故必有r(A)=2，从而r(B)=1．于是有
[*]
由BA=0有ATBT=0，那么BT的列向量是齐次方程组ATx=0的解，由
[*]
知ATx=0的通解为k(-1，1，1)T，其中k为任意常数．
那么 [*]，其中t，u，v是任意不全为0的常数．
所以 [*]，其中t，u，v是任意不全为0的常数．
(Ⅱ) 若B的第一列是(1，2，-3)T，则由(Ⅰ)可知
[*]
由于矩阵B的特征值是2，0，0，且λ=0有2个线性无关的特征向量，因此
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那么 [*]
进而 (B-E)6～(A-E)6=E，即P-1(B-E)6P=E，
所以 (B-E)6=E．
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