参考答案：由[*]x，y∈(-∞，+∞)有|f(x)-f(y))|≤L|x-y|可知f(x)是(-∞，+∞)上的连续函数，从而存在x_M∈[0，T]使得
[*]
由连续函数的积分中值定理可知，存在x₀∈(0，T)使得
[*]
以下分情况讨论：
①当x_M=x₀时，这时有|f(x_M)|=|f(x₀)|=0，即f(x)=0在[0，T]上成立，由f(x)的周期性即知f(x)≡0在(-∞，+∞)上成立，故[*]，从而结论显然成立．
②当x_M＞x₀时，由f(x)的周期性可得
2|f(x₀)-f(x_M)|=|f(x₀)-f(x_M)|+|f(x₀)-f(x_M)|
=|f(x₀)-f(x_M)|+|f(x₀+T)-f(x_M)|
≤L(x_M-x₀)+L(x₀+T-x_M)=LT，
即此时要证明的不等式|f(x_M)|=|f(x₀)-f(x_M)|≤[*]LT成立．
③当x_M＜x₀时，仍然由f(x)的周期性可得
2|f(x₀)-f(x_M)|=|f(x_M)-f(x₀)|+|f(x_M)-f(x₀)|
=|f(x_M)-f(x₀)|+|f(x_M+T)-f(x₀)|
≤L(x₀-x_M)+L(x_M+T-x₀)=LT，
即此时要证明的不等式|f(x_M)|=f(x₀)-f(x_M)|≤[*]LT也成立．
综合以上讨论即知在题设条件下总有[*]成立．