已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物

问题解答题

已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=

x2的焦点，离心率等于

．直线l与椭圆Γ交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；
（Ⅱ）椭圆Γ的右焦点是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

答案

（I）设椭圆C的方程为

=1(a＞b＞0)，则由题意知b=1．…（2分）

∴

a2-b2

．∴a²=5．…（4分）

∴椭圆C的方程为

+y2=1．…（5分）

（II）由（I）知，B（0，1），F（1，0）

假设存在直线l，使得F可以为△BMN的重心，

设A（x₀，y₀）为MN的中点，

则

=(1，-1)．

=(x 0-1，y 0)，

于是由

得：

1=2(x 0-1)

-1=2y 0

从而x₀=

，y₀=-

∴

x 02

y 02

＞1

这表明点A在椭圆外，这与A为弦的中点矛盾，

∴不存在直线l，使得F为△BMN的重心．